代数式课件

代数式课件(汇总十六篇)。

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5、x与y的平方和与x、y的和的平方的差为(x+y)2-(x2+y2)

6、某工厂第一个月生产a件产品，第二个月增产x%，两个月共生产a+ax%

4、a是一个两位数，b是一位数，如果把a放在b的左边，则所在的三位数是

5、一项工程甲独做需x天完成，乙独做需y天完成，甲先做2天，乙再加入做a天，这时完成的工程为

6、一辆汽车从甲地出发，先以a千米/时速度走了m小时，又以b千米/时的速度走了n小时到达乙地，则汽车由甲地到乙地的平均速度为千米/时

7、一件商品，每件成本a元，将成本增加25%定出价格，后因仓库积压调作，按价格的92%出售，每件还能盈利

8、有一列数：1,2,3,4,5,6,…,当按顺序从第2个数数到第6个数时共数了个数;当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时共数了个数。

(5)甲、乙合做天，才能完成全部工程。

三、选择题：

2、a、b两数的平方差除以a与b的差的平方的商用代数式表示为()

A、B、C、D、

A、s-aB、s-2aC、D、

5、若代数式2y+3y+7的值为8，则代数式4y2+6y-9的值是()

6、若a、b互为相反数，p、q互为倒数，m的绝对值为5，则代数式的值是()

2、当时求代数式(ab+c)(2ac-b)的值。

3、当时，求代数式的值。

4、已知a=3b，c=，求的值。

5、已知a+19=b+9=c+8求代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的值。

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一、重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

=x,=│x│等。

4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根([a≥0—与“平方根”的区别]);

⑵算术平方根与绝对值

①联系：都是非负数，=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴(—幂，乘方运算)

①a0时，0;②a0时，0(n是偶数)，0(n是奇数)

⑵零指数：=1(a≠0)

负整指数：=1/(a≠0,p是正整数)

二、运算定律、性质、法则

1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2.分式的性质

⑴基本性质：=(m≠0)

⑵符号法则：

⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)

3.整式运算法则(去括号、添括号法则)

4.幂的运算性质：①·=;②÷=;③=;④=;⑤

技巧：

5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6.乘法公式：(正、逆用)

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1.注重课堂学习，提高效率。在任课老师的指导下，通过课堂教学，要求同学们掌握各知识点之间的内在联系，理清知识结构，形成整体的认识，通过对基础知识的系统归纳，解题方法的归类，在形成知识结构的基础上加深记忆，至少应达到使自己准确掌握每个概念的含义，把平时学习中的模糊概念搞清楚，使知识掌握的更扎实的目的，要达到使自己明确每一个知识点在整个初中数学中的地位、联系和应用的目的。上课要会听课，会记录，必须要把握每一节课所讲的知识重点，抓住关键，解决疑难，提高学习效率，根据个人的具体情况，课堂上及时查漏补缺。

2.夯实基础知识，学会思考。在历年的数学中考试题中，基础分值占的最多，再加上部分中档题及较难题中的基础分值，因此所占分值的比例就更大。我们必须扎扎实实地夯实基础，通过系统的复习，我们对初中数学知识达到“理解”和“掌握”的要求，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。

有的考题会对需要考查的知识和方法创设一个新的问题情境，特别是一些需要有较高区分度的试题更是如此；每个中档以上难度的数学试题通常要涉及多个知识点、多种数学思想方法，或者在知识交汇点上巧妙设计试题。因此，我们每一个同学要学会思考，老师上课教给我们的是思考问题的角度、方法和策略，我们要用学到的方法和策略，在解决具有新情境问题的过程中，感悟出如何进行正确的思考。

3.注意知识的迁移，学会融会贯通。课本中的某些例题、习题，并不是孤立的，而是前后联系、密切相关的，其他学科的知识也和数学有着千丝万缕的联系，我们要学会从思维发展的最近点出发，去发现、研究和展示这些知识的内在联系，这样做不仅有助于自己深刻理解课本知识，有利于强化知识重点，更重要的是能有效地促进自己数学知识网络和方法体系的构建，使知识和能力产生良性迁移，达到触类旁通的效果，通过探究课本典型例题、习题的内在联系，让我们在深刻理解课本知识的同时，更有效地形成知识网络与方法体系。例如一元二次方程的根的判别式，不但可以解决根的判定和已知根的情况求字母系数，还可以解决二次三项式的因式分解、方程组的根的判定及二次函数图象与横轴的交点坐标。

4.复习形成梯度，选择典型习题。如果说第一阶段是中考复习的基础，是重点，侧重了双基训练，那么第二阶段的复习就是第一阶段复习的延伸和提高，这个阶段的练习题要选择有一些难度的题，但又不是越难越好，难题做的越多越好，做题要有典型性，代表性，所选择的难题是自己能够逐步完成的，这样才能既激发自己解难求进的学习欲望，又能使自己从解决较难问题中看到自己的力量，增强学习的信心，产生更强的求知欲望。

5.重视基础知识，注重解题方法。基础知识就是初中数学课程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求同学们掌握各知识点之间的内在联系，理清知识结构，形成整体的认识，并能综合运用。每年的中考数学会出现一两道难度较大，综合性较强的数学问题，解决这类问题所用到的知识都是同学们学过的基础知识，并不依赖于那些特别的，没有普遍性的解题技巧。

中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法，待定系数法、判别式法等操作性较强的数学方法。在复习时应对每一种方法的内涵，它所适应的题型，包括解题步骤都应该熟练掌握！

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1. 填空：

(1)x的 表示成_____________; (2)比a多 的数是_____________;(3)b的绝对值表示为_____________; (4)x的相反数表示成_____________;(5)小明今年m岁，则他去年_____________岁;(6)买10千克大米，花了a元，则这种大米的单价为_______元/千克。

2.用代数式表示：

(1)x的3倍再加上2的和;

(2)a的 与 的差;

(3)x的相反数与x的算术平方根的`和;

(4)a与b两数的平方和。

3.说出下列代数式的实际意义：

(1)苹果每千克的价格是x元，则2x可以理解为_________________________________;(2) 可以解释为____________________________________________________________。

4.当x分别取下列值时，求代数式1-3x的值：

(1)什么是代数式?什么是代数式的值?

(2)字母与数一起参与运算时，书写过程中应注意哪些问题?

5.下列代数式中，哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式?

6.说出上题中单项式的系数和次数;多项式的项、每一项的系数和次数用常数项。

(1)什么是单项式、多项式、整式?

(2)什么是单项式的系数和次数?多项式的次数如何确定?

7.下列各组代数式是不是同类项?

(1) 与 ;(2) 与 ;(3)-2与4.3;(4) 与 ;(5) 与8.合并同类项：

(1) + =_______________; (2) =________________;(3) =____________; (4) =_____________;9.去括号：

(1) =_____________; (2) =___________;(3) =_____________; (4) =__________;

(1)什么叫做同类项?

(2)合并同类项的法则是什么?

例1、小明家统计了家里用水量 与应缴水费 (元)之间的关系，如下表用水量

(1)写出用水量 与水费 (元)之间的关系;(2)计算用水量是35 时的水费。

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1.经历探索规律并用代数式表示规律的过程.

2.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式.

3.体会字母表示数的意义，形成初步的符号感.

1.搭1个正方形需要4根火柴棒。

(1)接上图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要_________根火柴棒。

(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?

(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?

(4)如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴进行交流。

上面数据转换的过程实际就是代数式求值的过程，请大家归纳求代数式的值的步骤。

1.根据你的计算方法，搭200个这样的正方形需要多少根火柴棒?

利用小明的计算方法，我们用200代替4+3(x-1)中的x，可以得到

你的结果与小明的结果一样吗?

2.请用字母表示以前学过的公式和法则。

例1.用火柴棒按下面的方式搭图形：

(2)写n个图形需要多少根火柴棒?

(1)每包书有12册，n包书有__________册;

(2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃;

(3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米;

(1)写出和上面等式具有同样结构，等号左边最大数是10的式子。

(2)写出一个等式，要求它能代表所有类似的等式，清楚地反映出这类等式的特点。

分析：我们通过观察等式发现，这些式子右边都是一个自然数的平方，左边是一连串自然数相加，其中，最在的自然数的平方恰好是右边的数。即左边最大的数与右边二次幂的底数相同，要表示所有这类式子都具有的这种相等关系，只有使用字母。

解：(1)1+2+3+…+10+9+8+7+…+1=102。

注意：题中所给的每一个式子都只是一个特殊的情况，多个这样的式子也能反映出普遍规律，但是比较麻烦。

要想用一个式子表示类似许多式子的规律性，只有用字母。

自编2道用字母表示数的题目，并解释它的背景。

这节课，你有什么收获吗?你对自己的学习还满意吗?你在学习的过程中有什么困难的地方吗?课后和同学交流一下.

1.先进鲜明的教学理念.

2.和谐融洽的教学气氛.在整个教学过程的设计中师生是朋友，是合作者;教师的引导好象是在讲故事;讲解则是学生探索结果的概括;学生之间也充满合作.

3.紧张活泼的教学节奏.本课设计中安排了不同层次的提问与练习，而且采取了灵活多变的呈现方式，从而使教学过程呈现出紧张活泼的特点

[新湘教版列代数式教案设计]

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2．本节知识结构：

本小节是在前面代数式概念引出之后，具体讲述如何把实际问题中的数量关系用代数式表示出来。课文先进一步说明代数式的概念，然后通过由易到难的三组例子介绍列代数式的方法。

3．重点、难点分析：

列代数式实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转化。列代数式首先要弄清语句中各种数量的意义及其相互关系，然后把各种数量用适当的字母来表示，最后再把数及字母用适当的运算符号连接起来，从而列出代数式。

分析本题属于“…比…多（大）…或…比…少（小）”的类型，首先要抓住这几个关键词。然后从中找出谁是大数，谁是小数，谁是差。比的2倍大2的数换个方式叙述为所求的数比的2倍大2。大和比前边的量，即所求的数为大数，那么比和大之间量，即的2倍则为小数，大后边的量2即为差。所以本小题是已知小数和差求大数。因为大数=小数+差，所以所求的数为：2+2.

4．列代数式应注意的问题：

（1）要分清语言叙述中关键词语的意义，理清它们之间的数量关系。如要注意题中的“大”，“小”，“增加”，“减少”，“倍”，“倒数”，“几分之几”等词语与代数式中的`加，减，乘，除的运算间的关系。

（2）弄清运算顺序和括号的使用。一般按“先读先写”的原则列代数式。

（3）数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略不写，字母与字母相乘时乘号省略不写。

（4）在代数式中出现除法时，用分数线表示。

5．教法建议：

列代数式是本章教学的一个难点，学生不容易掌握，这样老师在上课时，首先要让学生理解代数式的本质，弄清语句中各种数量的意义及其相互关系，然后设计一定数量的练习题，由易到难，螺旋式上升，使学生能够正确列出代数式。

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教学目标

1.使学生认识字母表示数的意义，了解字母表示数是数学的一大进步；

2.了解代数式的概念，使学生能说出一个代数式所表示的数量关系；

3.通过对用字母表示数的讲解，初步培养学生观察和抽象思维的能力；

4.通过本节课的教学，使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法。

教学建议

1. 知识结构：本小节先回顾了小学学过的字母表示的两种实例，一是运算律，二是公式，从中看出字母表示数的优越性，进而引出代数式的概念。

2.教学重点分析：教科书，介绍了小学用字母表示数的实例，一个是运算律，一个是常用公式，上述两种例子应用广泛，且能很好地体现用字母表示数所具有的简明、普遍的优越性，用字母表示是数学从算术到代数的一大进步，是代数的显著特点。运用算术的方法解决问题，是小学学生的思维方法 ，现在，从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了抽象概括的思维方法，在认识上是一个质的飞跃。对代数式的概念课文没有直接给出，而是用实例形象地说明了代数式的概念。对代数式的概念可以从三个方面去理解：

（1）从具体的数到用字母表示数，是抽象思维的开始，体现了特殊与一般的辨证关系，用字母表示数具有简明、普遍的优越性。

（2）代数式中并不要求数和表示数的字母同时出现，单独的一个数和字母也是代数式。如：2， 都是代数式。

（3）代数式是用基本的运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子，一定要弄清一个代数式有几种运算和运算顺序。代数式不含表示关系的符号，如等号、不等号。如 ， ，等都是代数式，而 ， ， ， 等都不是代数式。

3.教学难点 分析：能正确说出一个代数式的数量关系，即用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序。用语言表达代数式的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点。

如：说出代数式7（a－3）的意义。

分析 7（a－3）读成7乘a减3，这样就产生歧义，究竟是7a－3呢？还是7（a－3）呢？有模棱两可之感。代数式7（a－3）的最后运算是积，应把a－3作为一个整体。所以，7（a－3）的意义是7与（a－3）的积。

4.书写代数式的注意事项：

（1）代数式中数字与字母或者字母与字母相乘时，通常把乘号简写作“·”或省略不写，同时要求数字应写在字母前面。如 ，应写作 或写作 ， 应写作 或写作 .带分数与字母相乘，应把带分数化成假分数，如 应写成 .数字与数字相乘一般仍用“×”号。

（2）代数式中有除法运算时，一般按照分数的写法来写。如： 应写作

（3）含有加减运算的代数式需注明单位时，一定要把整个式子括起来。

5.对本节例题的分析：

例1是用代数式表示几个比较简单的数量关系，这些小学都学过。比较复杂一些的数量关系的代数式表示，课文安排在下一节中专门介绍。

例2是说出一些比较简单的代数式的意义。因为代数式中用字母表示数，所以把字母也看成数，一种特殊的数，就可以像看待原来比较熟悉的数式一样，说出一个代数式所表示的数量关系，只是另外还要考虑乘号可能省略等新规定而已。

6.教法建议

（1）因为这一章知识大部分在小学学习过，讲授新课之前要先复习小学学过的运算律，在学生原有的认知结构上，提出新的问题。这样即复习了旧知识，又引出了新知识，能激发学生的学习兴趣。在教学中，一定要注意发挥本章承上启下的作用，搞好小学数学与初中代数的衔接，使学生有一个良好的开端。

（2）在本节的学习过程中，要使学生理解代数式的概念，首先要给学生多举例子（学生比较熟悉、贴近现实生活的例子），使学生从感性上认识什么是代数式，理清代数式中的运算和运算顺序，才能正确说出一个代数式所表示的数量关系，从而认识字母表示数的意义——普遍性、简明性，也为列代数式做准备。

（3）条件比较好的学校，老师可选用一些多媒体课件，激发学生的学习兴趣，增强学生自主学习的能力。

（4）老师在讲解第一节之前，一定要对全章内容和课时安排有一个了解，注意前后知识的衔接，只有这样，我们老师才能教给学生系统的而不是一些零散的知识，久而久之，学生头脑中自然会形成一个完整的知识体系。

（5）因为是新学期代数的第一节课，老师一定要给学生一个好印象，好的开端等于成功了一半。那么，怎么才能给学生留下好印象呢？首先，你要尽量在学生面前展示自己的才华。比如，英语口语好的老师，可以用英语做一个自我介绍，然后为学生说一段祝福语。第二，上课时尽量使用多种语言与学生交流，其中包括情感语言（眉目语言、手势语言等），让学生感受到老师对他的关心。

7.教学重点、难点：

重点：用字母表示数的意义

难点：学会用字母表示数及正确说出一个代数式所表示的数量关系。

教学设计示例

代数式

教学目标 

1.使学生认识字母表示数的意义，了解字母表示数是数学的一大进步；

2.了解代数式的概念，使学生能说出一个代数式所表示的数量关系；

3.通过对用字母表示数的讲解，初步培养学生观察和抽象思维的能力；

4.通过本节课的教学，使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法。

教学重点和难点

重点：用字母表示数的意义

难点：学会用字母表示数及正确地说出代数式所表示的数量关系

课堂教学过程 设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1在小学我们曾学过几种运算律？都是什么？如可用字母表示它们？

(通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律)

(1)加法交换律 a+b=b+a；

(2)乘法交换律 a·b=b·a；

(3)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)；

(4)乘法结合律 (ab)c=a(bc)；

(5)乘法分配律 a(b+c)=ab+ac

指出：(1)“×”也可以写成“·”号或者省略不写，但数与数之间相乘，一般仍用“×”;

(2)上面各种运算律中，所用到的字母a，b，c都是表示数的字母，它代表我们过去学过的一切数

2(投影)从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，骑车要1小时，乘汽车要0.25小时，试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少？

3若用s表示路程，t表示时间，ν表示速度，你能用s与t表示ν吗？

4(投影)一个正方形的边长是a厘米，则这个正方形的周长是多少？面积是多少？

(用I厘米表示周长，则I=4a厘米；用S平方厘米表示面积，则S=a2平方厘米)

此时，教师应指出：(1)用字母表示数可以把数或数的关系，简明的表示出来；(2)在公式与中，用字母表示数也会给运算带来方便；(3)像上面出现的a，5，15÷3，4a，a+b， 以及a2等等都叫代数式。那么究竟什么叫代数式呢？代数式的意义又是什么呢？这正是本节课我们将要学习的内容。

三、讲授新课

1代数式

单独的一个数字或单独的一个字母以及用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。学习代数，首先要学习用代数式表示数量关系，明确代数上的意义

2举例说明

例1  填空：

(1)每包书有12册，n包书有__________册；

(2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃；

(3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米；

(4)产量由m千克增长10%，就达到_______千克

(此例题用投影给出，学生口答完成)

解：(1)12n；  (2)(t-2)；   (3)a3；   (4)(1+10%)m

例2  说出下列代数式的意义：

(1) 2a+3    (2)2(a+3)；     (3)   (4)a-   (5)a2+b2   (6)(a+b) 2

解：(1)2a+3的意义是2a与3的和；(2)2(a+3)的意义是2与(a+3)的积；

(3) 的意义是c除以ab的商；  (4)a- 的意义是a减去 的差；

(5)a2+b2的意义是a，b的平方的和；(6)(a+b)2的意义是a与b的和的平方

说明：(1)本题应由教师示范来完成；

(2)对于代数式的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不致引起误会为出发点如第(1)小题也可以说成“a的2倍加上3”或“a的2倍与3的和”等等

例3  用代数式表示：

(1)m与n的和除以10的商；

(2)m与5n的差的平方；

(3)x的2倍与y的和；

(4)ν的立方与t的3倍的积

分析：用代数式表示用语言叙述的数量关系要注意：①弄清代数式中括号的使用；②字母与数字做乘积时，习惯上数字要写在字母的前面

解：(1) ；   (2)(m-5n)2   (3)2x+y；  (4)3tν3

四、课堂练习

1填空：(投影)

(1)n箱苹果重p千克，每箱重_____千克；

(2)甲身高a厘米，乙比甲矮b厘米，那么乙的身高为_____厘米；

(3)底为a，高为h的三角形面积是______；

(4)全校学生人数是x，其中女生占48%，则女生人数是____，男生人数是____

2说出下列代数式的意义：(投影)

(1)2a-3c；   (2) ；   (3)ab+1；   (4)a2-b2

3用代数式表示：(投影)

(1)x与y的和；  (2)x的平方与y的立方的差；

(3)a的60%与b的2倍的和；  (4)a除以2的商与b除3的商的和

五、师生共同小结

首先，提出如下问题：

1本节课学习了哪些内容？2用字母表示数的意义是什么？

3什么叫代数式？

教师在学生回答上述问题的基础上，指出：①代数式实际上就是算式，字母像数字一样也可以进行运算；②在代数式和运算结果中，如有单位时，要正确地使用括号

六、作业

1一个三角形的三条边的长分别的a，b，c，求这个三角形的周长

2张强比王华大3岁，当张强a岁时，王华的年龄是多少？

3飞机的速度是汽车的40倍，自行车的速度是汽车的 ，若汽车的速度是ν千米/时，那么，飞机与自行车的速度各是多少？

4a千克大米的售价是6元，1千克大米售多少元？

5圆的半径是R厘米，它的面积是多少？

6用代数式表示：

(1)长为a，宽为b米的长方形的周长；

(2)宽为b米，长是宽的2倍的长方形的周长；

(3)长是a米，宽是长的 的长方形的周长；

(4)宽为b米，长比宽多2米的长方形的周长

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中考代数式和因式分解题汇总

一、选择题

、 满足 .则下列式子一定成立的是

(A) (B) (C) (D) 【答案】D。

【考点】代数式变形，完全平方公式。

【分析】∵ 由 得 。故选D。

2.(河北省2分)下列分解因式正确的是

A、﹣ + 2 ﹣4 +2=2( ﹣2 )

C、 2﹣2 +1=( ﹣1)2

【答案】D。

【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案：

A、﹣ + 3=﹣ (1﹣ 2)=﹣ (1+ )(1﹣ )，故本选项错误;

B、2 ﹣4 +2=2( ﹣2 +1)，故本选项错误;

C、 2﹣4=( ﹣2)( +2)，故本选项错误;

D、 2﹣2 +1=( ﹣1)2，故本选项正确。

故选D。

3.(河北省2分)下列运算中，正确的是

A、 + 4= 5

C、(﹣ 2 =x2

【答案】D。

【考点】合并同类项，幂的乘方与积的乘方，整式的除法。

【分析】A中整式相减，系数相减再乘以未知数，故本选项错误;B、不同次数的幂的加法，无法相加，故本选项错误;C、整式的幂等于各项的幂，故本选项错误;D、整式的除法，相同底数幂底数不变，指数相减.故本答案正确。故选D。

4.(山西省2分)下列运算正确的是

A. B. C. D. 【答案】A。

【考点】幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法。

【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算法则对各选项计算后利用排除法求解：

A. ，本选项正确;

B. ，故本选项错误;

C. ，故本选型错误;

D. ，故本选项错误。故选A。

赤峰3分)下列运算正确的是

A. B. C. D. 【答案】A。

【考点】同底幂乘法和除法，合并同类项，完全平方公式。

【分析】根据同底幂乘法和除法，合并同类项，完全平方公式运算法则逐一计算作出判断：

A. ，选项正确; B.2 和3 不是同类项，不好合并，选项错误;

C. ，选项错误; D. 选项错误。故选A。

6.(内蒙古呼和浩特3分)计算2x2(﹣3x3)的结果是

A、﹣﹣2x6

【答案】A。

【考点】单项式乘单项式，同底数幂的乘法。

【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案：

2x2(﹣3x3)=2(﹣3)(x2x3)=﹣6x5。故选A。

7.(内蒙古呼伦贝尔3分)下列各式计算正确的

A. B. C. D.

【答案】C。

【考点】合并同类项，同底幂乘法，二次根式化简，乘方。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法，二次根式化简，乘方运算法则逐一计算作出判断：

A. ，选项错误; B. ，选项错误;

C. ，选项正确; D. ，选项错误。故选C。

8.(内蒙古乌兰察布3分)下列计算正确的是

A . B C D 【答案】A。

【考点】幂的乘方，合并同类项，同底幂乘法和除法。

【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底幂乘法和除法运算法则逐一计算作出判断：

A . ，选项正确; B 和 不是同类项，不好合并，选项错误;

C ，选项错误; D 选项错误。故选A。

二、填空题

1.(北京4分)若分式 的值为0，则 的值等于 ▲ .

【答案】8。

【考点】分式的值为零的条件。

【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0，分母0，可以求出 的值：解 ﹣8=0，得 =8。

2.(北京4分)分解因式： ▲ .

【答案】 。

【考点】提公因式法与公式法因式分解。

【分析】先提取公因式 ，再利用完全平方公式继续分解： 。

3.(北京4分)在下表中，我们把第i行第j列的数记为 i，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数 i，j，规定如下：当ij时， i，j=1;当i

1，11，21，31，41，5

2，12，22，32，42，5

3，13，23，33，43，5

4，14，24，34，44，5

5，15，25，35，45，5

【答案】0，15，1。

1，1=11，2=01，3=01，4=01，5=0

2，1=12，2=12，3=02，4=02，5=0

3，1=13，2=13，3=13，4=03，5=0

4，1=14，2=14，3=14，4=14，5=0

5，1=15，2=15，3=15，4=15，5=1

【考点】分类归纳。

【分析】由题意，从i与j之间大小分析，很容易求出表中各数：

从而得出 1，3=0。表中的25个数中，共有15个1。

并计算：

1，1 i，1+ 1，2 i，2+ 1，3 i，3+ 1，4 i，4+ 1，5 i，5

=11+0 i，2+0 i，3+0 i，4+0 i，5 =1。

赤峰尔3分)因式分解：a2﹣6a+9= ▲ .

【答案】(a﹣3)2。

【考点】运用公式法因式分解。

【分析】本题是一个二次三项式，且a2和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的`两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解：a2﹣6a+9=(a﹣3)2。

赤峰3分)化简 的结果是 ▲ .

【答案】1。

【考点】分式的混合运算，平方差公式。

6.(内蒙古包头3分)化简 =，其结果是 ▲ .

【答案】 。

【考点】分式的混合运算。

【分析】运用平方差公式、完全平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分化简，通分合并同类项得出最简值。

原式= 。

7.(内蒙古呼和浩特3分)若 ，则 的值为 ▲ .

【答案】 。

【考点】分式的化简求值。

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【分析】将 变换成 代入 逐步降低 的次数出现公因式，分子分母同时除以公因式：

。

8.(内蒙古呼伦贝尔3分)分解因式： = ▲ 。

【答案】 。

【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】 。

三、解答题

1.(北京5分)已知 ，求代数式 的值.

【答案】解： 。

∵ ， ， 原式= 。

【考点】整式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式。

【分析】先对要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出 ，即可求出最后结果。

2.(山西省8分)先化简。再求值： ，其中 。

【答案】解：原式= 。

当 时，原式= 【考点】分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式。

【分析】将分式的分子、分母因式分解，约分，通分化简，再代值计算。

3.(内蒙古呼和浩特5分)化简： .

【答案】解：原式= = = 。

【考点】分式的混合运算。

【分析】先对各项化简，然后进行混合运算，最后再化简，化为最简分式。

4.(内蒙古乌兰察布8分)先化简再求值 其中 【答案】解：原式= = 。

当 时，原式= 【考点】分式运算法则，二次根式化简。

【分析】将除法转换成乘法，约分化简。然后代 的值进行二次根式化简。

5.(内蒙古呼伦贝尔6分)先化简，再求值: ， 其中

【答案】解：原式= = 。

当 时，原式= 。

【考点】分式运算法则，平方差公式。

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。然后代x的值即可。

♥️ 代数式课件 ♥️

一、教材分析

1．教材分析

我选取的是浙教版七上实验教材第四章第二节，课题为《代数式》，本节是在完成了实数数集的扩充，了解了字母表示数后，进一步学习代数式及列代数式．从数到式是学生认识上“质”的飞跃，是研究方程、不等式、函数等数学知识的基础，可以说本节是“代数”之始．同时，本节课所渗透的特殊到一般的辨证思想和数学建模的思想方法，对学生今后的数学学习和发展都有非常重要的意义．据此，我确定本节课的教学重点为：代数式的概念及用代数式表示常用的数量关系．

2．学情分析

在本节内容学习之前，学生已具有了如下的“现有发展区”．但对初一新生来说，从“数”到“式”这种认识上的飞跃没有足够的心理准备，对用字母表示数的理解还不深刻，尤其是数学的应用意识和应用能力还较弱，所以用代数式表示实际问题中的数量关系会感到难于理解．据此，我认为本节课的教学难点为：用代数式表示实际问题中的数量关系．

二、教学目标

根据学习任务分析和学生认知特点，我从三方面确定本节课的教学目标：

知识与技能目标的“了解”、“运用”与“发展”是根据课程标准的要求和学生原有的认知、能力水平来确定的．

过程、方法目标和情感、态度目标是根据本节教材的独特性、抽象性，突出“非智力因素”的培养而确定的，以使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展．

三、教法与学法

根据以上分析，为了充分发挥学生“现有发展区”的积极作用，帮助学生解决“最近发展区”的认知矛盾，促成“最近发展区”向“目标发展区”转化，依据美国著名心理学家加德纳的多元智能理论和波利亚的问题解决理论，我确定本节课的教学方法为以问题解决为主的情境教学法，融入地方文化、参观情景、导游角色、问题解决等元素，让学生体会数学源于生活，又服务于生活的一般规律；并附以实物和多媒体教学，创设有趣、直观的教学情景，激发学习兴趣，烘托重点．

在学法上引导学生采用“融、验、探、合”四字学习法，即融入情景，在情景中快乐学习；体验过程，在过程中建构知识；自主探索，在探索中培养品质；合作交流，在交流中获取经验，充分发挥学生的主体性，变“学会”为“会学”．

四、课堂结构设计

根据问题解决的一般过程，我把这节课的课堂结构设计为以下5个环节，下面对教学过程设计作详细的说明．

五、教学过程设计

1.创设情境，引出问题

我先引导学生欣赏鲁迅纪念馆的一组照片，简单介绍鲁迅其人其事，结合金秋十月，营造秋游氛围，并请学生做导游，教师用富有激情的语言激励学生，做好一名导游可得解决旅程中的许多问题．

如此创设情景，是因为绍兴是鲁迅的故乡，把鲁迅做为背景，可以迅速激发学生的自豪感和学习的兴趣，并渗透了乡土人文教育．同时，旅程的开始也就意味着学习的开始．

在“导游”这个角色的促使下，学生自然会积极主动地思考旅程中遇到的一系列问题:

首先是出发时的行程问题，学生很快进行了解决，教师把所得算式收藏到收藏箱中．到了纪念馆门口，自然遇到了买门票问题．

此时，可通过分析，让学生感知( 60a +40b)所代表的普遍意义．

进入参观后，根据纪念馆的情况又出现了一系列问题，学生一一进行解决．如此设计可使问题与情境有机相融，同时教师又充分考虑到了样例形式的丰富性，使学生意识到学习代数式的必要性．教学时应引导学生正确书写，指出书写的简约美．

接下来教师把收藏箱里的式子全部展示出来，并引导学生观察这些旅程中所得的算式：略，提出问题：它们与我们以前学过的算式有什么区别呢?

使学生造成认知上的冲突，激发其探究的内驱力．

2.对比析误，感知问题

从而水到渠成地得到概念.教师在板书概念后点出课题．

此时学生对代数式只是一个感性认识，于是我又设计了如下的辨析题，通过析误帮助学生区分可能会与代数式混淆的几个关系式，从而加深对代数式构成的理解，使学生的认识有感性上升到理性．

至此学生已经历了代数式概念产生的整个过程，完成了特殊到一般的转化，教学的一个重点已得到了妥善的处理．而教学的另一个重点是用代数式表示数量关系，我打算从列代数式和编代数式两方面让学生进行探索．首先是列：

3.双向建构，探索问题

（1）．大家一起来列式：

列是要求学生把文字语言转化为符号语言，考虑到学生转化时可能在关键词意义理解、运算顺序等方面容易出错，我对课本例题进行了重组，并精心设计了变式题，让学生通过对比、辨析，理解关键词的意义，分清运算顺序．教学时应鼓励学生大胆尝试，通过析误让他们得到内化，形成经验．我又及时安排了巩固练习，使学生在练习和集体评析中掌握列式技能，体念成功乐趣.接下来让学生创造性地编代数式，并用文字语言进行描述，再赋予代数式实际背景和几何意义，并在小组合作的基础上通过视频展示台进行交流．

（2）．聪明才智共编式

如此设计的意图，是为了让学生从文字语言到符号语言，再从符号语言到文字语言两方面进行建构，强化代数式的概念，提高列式技能，突出了重点．估计此时学生会编出各种不同的代数式，教师要一一予以肯定，尤其是要乘机对学困生进行鼓励和赞赏，让他们感受成功的喜悦，增加学习的信心．可能有些学生会感到困难，而小组合作与交流为他们聆听他人思维，产生共鸣创造了一个很好的平台．由于不同生活经验的学生可以对同一代数式作出不同的解释，如５ａ可赋予不同的背景，所以此问题的设计为不同的人在数学上得到不同的发展创造了条件，同时让学生体会到代数式的模型思想，达到分散难点的目的．此时学生的思维应该非常活跃，交流此起彼伏，达到了预设中的小高潮．

为乘机促使思维进一步发展，让学生跳一跳能摘到桃子，我设计了如下的探究活动．

4.合作交流，解决问题

（1）．开动脑筋齐探索

请学生以小组为单位，选取下列的1个主题，先自主探索，再在组内交流．然后通过视频展示台展示研究成果．

主题１是为了培养学生动手操作和规律探索能力，渗透特殊到一般的思想而设置的．估计学生对此题会有不同的解决方法，从而得到不同的代数式，教师要细心聆听学生的讲解，充分肯定小组合作的成果，并点明这些代数式最后都可化为同一形式，为后续内容学习埋下伏笔．

主题２是为了让学生感受数学美，渗透数学人文和数形结合思想，并为勾股定理等后续内容的学习打下基础．

在此把研究性学习引入课堂，是为了给学生思考、探究、发现和创新提供最大的空间．同时通过展示研究成果，师生共同从语言表达、动手操作、参与合作等方面进行评价，使同学们在多元评价中感受自主探究的乐趣．预计这里又能达到一个高潮．

（2）游戏之中验真知

经过前面的两次高潮，估计学生的思维已有些疲劳，根据注意的转移规律，借鉴中央台的非常6+1栏目,我设计了游戏活动-砸金蛋．8个金蛋内设计了5个题目和3朵彩花，其中问题的顺序已作了充分的预设，不管怎么砸，问题都按照先简后难的固定顺序出现，从而使高层次的问题在思维最活跃时得到解决．

此游戏的开展，吸引了学生的有意注意，舒缓了疲劳，起到了课堂调节剂的作用，使学生在愉快活跃的氛围中主动参与知识的巩固、深化过程，仿佛学中玩，玩中学．最后一题的情境设计突出了参观主线，并暗示参观已结束，进入返程．而在乘车返校途中，又自然而然地引出了实际问题：

（3）返程路上解疑问

如此设计，使问题与情境相融，做到首尾呼应，参观情节贯穿整节课．在讲解时可引导学生在观察动画演示的基础上先独自解决，后请学生代表作分析，以暴露思维过程，教师应及时进行鼓励和评价，使学生在问题解决的过程中体会成功的喜悦．其中拓展问题的设计为下节课的学习作了铺垫．

5.反思小结，拓展问题

（1）．你说我讲共交流

小结由师生互动完成，我引导学生从以上几方面进行交流．前三方面对应了本节课的三维目标，第四方面的设计能促使学生进行全面反思，使课堂得到延升．

（2）．课后延伸促提高

作业分为阅读作业、书面作业和拓展作业，其中根据学生的发展情况，书面作业又分为必做题和选做题，如此设计的目的，是为了使不同的人在数学上得到不同的发展.

板书预设如下，最后从预设和生成两个方面对本案设计作补充说明．

六、设计说明

1．预设

（1）．教学特色：本节课的设计是以问题为主线，以“参观”为形式，参观情境贯穿整节课，而实质是数学本质的渗透，抽象的数学学习与有趣的参观情境有机相融，让学生在这个特殊的＂旅程＂中感受地方人文，体念学习过程，体会思想方法，突出了数学学习的生活化，使学生真正成为课堂的主角．

（2）．重、难点的处理：

突出重点措施：

①．通过列式——比较——辨别——概括等环节，让学生经历代数式概念的产生过程，

②．通过“由文字语言到符号语言”再“由符号语言到文字语言”让学生从正反两方面双向建构．

突破难点策略：

①．分三步分散难点：引入时大量的实际情景，让学生体会到代数式存在的普遍性；让学生给自己构造的一些简单代数式赋予实际意义，进一步体会代数式的模型思想；通过“主题研究”等环节进一步提高解决实际问题的能力．

②．适时安排小组合作与交流，使学生在倾听、质疑、说服、推广的过程中得到“同化”和“顺应”，直至豁然开朗，突破思维的瓶颈．

2．生成

预设为生成服务，本案编代数式、主题研究等环节的设计为学生精彩的生成提供了很好的平台，在实际教学过程中，教师要注重生成信息的捕捉，善于发现学生思维的亮点，及时进行引导和激励，并根据具体教学对象，适当调整教与学，使教学过程真正成为生成教育智慧和增强实践能力的过程．让预设与生成齐飞．

♥️ 代数式课件 ♥️

有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。

整式有包括单项式(数字或字母的乘积，或者是单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和)。

没有加减运算的整式叫做单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数，简称系数。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

几个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。齐次多项式：各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。

不可约多项式：次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内不可约多项式。实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式，复数范同内不可约多项式是一次多项式。

对称多项式：在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。

同类项：多项式中含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

我们把含有字母的根式、字母的非整数次乘方，或者是带有非代数运算的式子叫做无理式。无理式包括根式和超越式。我们把可以化为被开方式为有理式，根指数不带字母的代数式称为根式。

我们把有理式与根式统称代数式，把根式以外的无理式叫做超越式。

♥️ 代数式课件 ♥️

《代数式》是浙教版七上实验教材第四章第二节课程，本节是在完成了实数数集的扩充，了解了字母表示数后，进一步学习代数式及列代数式。从数到式是学生认识上“质”的飞跃，是研究方程、不等式、函数等数学知识的基础，可以说本节是“代数”之始。同时，本节课所渗透的特殊到一般的辨证思想和数学建模的思想方法，对学生今后的数学学习和发展都有非常重要的意义。

在本节内容学习之前，学生已具有了如下的“现有发展区”。但对初一新生来说，从“数”到“式”这种认识上的飞跃没有足够的心理准备，对用字母表示数的理解还不深刻，尤其是数学的应用意识和应用能力还较弱，所以用代数式表示实际问题中的数量关系会感到难于理解。

根据学习任务分析和学生认知特点，我从三方面确定本节课的教学目标：

知识与技能目标的“了解”、“运用”与“发展”是根据课程标准的要求和学生原有的认知、能力水平确定的。

过程、方法目标和情感、态度目标是根据本节教材的独特性、抽象性，突出“非智力因素”的培养而确定的，以使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

教学重点：代数式的概念及用代数式表示常用的数量关系。

根据以上分析，为了充分发挥学生“现有发展区”的积极作用，帮助学生解决“最近发展区”的认知矛盾，促成“最近发展区”向“目标发展区”转化，依据美国著名心理学家加德纳的多元智能理论和波利亚的问题解决理论，我确定本节课的教学方法为以问题解决为主的.情境教学法，融入地方文化、参观情景、导游角色、问题解决等元素，让学生体会数学源于生活，又服务于生活的一般规律;并附以实物和多媒体教学，创设有趣、直观的教学情景，激发学习兴趣，烘托重点。

在学法上引导学生采用“融、验、探、合”四字学习法，即融入情景，在情景中快乐学习;体验过程，在过程中建构知识;自主探索，在探索中培养品质;合作交流，在交流中获取经验，充分发挥学生的主体性，变“学会”为“会学”，

我先引导学生欣赏鲁迅纪念馆的一组照片，简单介绍鲁迅其人其事，结合金秋十月，营造秋游氛围，并请学生做导游，教师用富有激情的语言激励学生，做好一名导游可得解决旅程中的许多问题。

如此创设情景，是因为绍兴是鲁迅的故乡，把鲁迅做为背景，可以迅速激发学生的自豪感和学习的兴趣，并渗透了乡土人文教育。同时，旅程的开始也就意味着学习的开始。

在“导游”这个角色的促使下，学生自然会积极主动地思考旅程中遇到的一系列问题:

首先是出发时的行程问题，学生很快进行了解决，教师把所得算式收藏到收藏箱中。到了纪念馆门口，自然遇到了买门票问题。

此时，可通过分析，让学生感知( 60a +40b)所代表的普遍意义。

进入参观后，根据纪念馆的情况又出现了一系列问题，学生一一进行解决。如此设计可使问题与情境有机相融，同时教师又充分考虑到了样例形式的丰富性，使学生意识到学习代数式的必要性。教学时应引导学生正确书写，指出书写的简约美。

接下来教师把收藏箱里的式子全部展示出来，并引导学生观察这些旅程中所得的算式 ，提出问题：它们与我们以前学过的算式有什么区别呢?

使学生造成认知上的冲突，激发其探究的内驱力。

从而水到渠成地得到概念. 教师在板书概念后点出课题。

此时学生对代数式只是一个感性认识，于是我又设计了如下的辨析题，通过析误帮助学生区分可能会与代数式混淆的几个关系式，从而加深对代数式构成的理解，使学生的认识有感性上升到理性。

至此学生已经历了代数式概念产生的整个过程，完成了特殊到一般的转化，教学的一个重点已得到了妥善的处理。而教学的另一个重点是用代数式表示数量关系，我打算从列代数式和编代数式两方面让学生进行探索。

(1)大家一起来列式：

列是要求学生把文字语言转化为符号语言，考虑到学生转化时可能在关键词意义理解、运算顺序等方面容易出错，我对课本例题进行了重组，并精心设计了变式题，让学生通过对比、辨析，理解关键词的意义，分清运算顺序。教学时应鼓励学生大胆尝试，通过析误让他们得到内化，形成经验。我又及时安排了巩固练习，使学生在练习和集体评析中掌握列式技能，体念成功乐趣.接下来让学生创造性地编代数式，并用文字语言进行描述，再赋予代数式实际背景和几何意义，并在小组合作的基础上通过视频展示台进行交流。

如此设计的意图，是为了让学生从文字语言到符号语言，再从符号语言到文字语言两方面进行建构，强化代数式的概念，提高列式技能，突出了重点。估计此时学生会编出各种不同的代数式，教师要一一予以肯定，尤其是要乘机对学困生进行鼓励和赞赏，让他们感受成功的喜悦，增加学习的信心。可能有些学生会感到困难，而小组合作与交流为他们聆听他人思维，产生共鸣创造了一个很好的平台。由于不同生活经验的学生可以对同一代数式作出不同的解释，如5a可赋予不同的背景，所以此问题的设计为不同的人在数学上得到不同的发展创造了条件，同时让学生体会到代数式的模型思想，达到分散难点的目的。此时学生的思维应该非常活跃，交流此起彼伏，达到了预设中的小高潮。

♥️ 代数式课件 ♥️

这是一本很有特色的教材。如果你问我这本书的特色是什么，我会说：基础宽、厚、实。

重点大学想给学生多讲一些东西，有两种思路。多数情况下，教材里会加一些高观点的知识，比如：张量积，仿射空间，典型群。这本书则是采取了另外一种思路：把已经学到手的知识讲深、讲透、讲到极致。经过了这本书的历练，再去学那些高观点的知识也是很轻松的。

线性代数的主线是矩阵与变换，平台是线性空间和内积空间，它们是线性代数中最核心的内容。本书针对这些核心内容的讨论是相当到位的：矩阵方面，介绍了华罗庚学派的秘密武器——矩阵打洞。变换方面，介绍了相似标准形的几何解释——两个空间分解定理，从而引入更强大的有理标准形和广义标准形。空间方面，介绍了子空间的有限覆盖问题，介绍了商空间及其在线性同构问题上的应用。欧氏空间和酉空间分开处理，以欧氏空间为重点，介绍了特征值的几何理论，并在此基础之上讨论了几种常用的矩阵分解。

这本书的例题和习题都比较难，做起来有种做高中数学竞赛的感觉。习题是教材的一部分，其中有些题目回答了正文中留下的问题，所以不能不做。如果读者不会做，可以参考徐利治老师主编的『大学数学解题方法诠释』的线性代数部分，教材中较难的问题均有李炯生老师写的参考解答。如果你能坚持做完这本书的习题，你的线性代数功力将有质的飞跃。

♥️ 代数式课件 ♥️

【摘要】本文从线性代数课程的特征出发，研究了在保持课程内容体系不变的前提下，通过把握主线、引入几何观点、结合代数发展史三个方面，来改进传统的线性代数课堂教学.结论表明，以上的改进不仅能减轻由于代数的抽象性带来的学习困难，达到更好的教学效果，同时能在课堂中提高学生的数学能力及数学素质，培养学生的创造性思维能力.

线性代数及微积分(常称为高等数学)、概率论与数理统计是当今大学生三门必修数学课.由于中学数学教材改革和新课标的实施，微积分和概率论与数理统计课程中的部分知识点已经在学生的高中阶段都有所接触，而且这两门课的大部分知识都有较为丰富的背景和应用范围.相比而言，线性代数中的行列式、矩阵概念对学生是全新的，没有在中学接触过的，就现行的大量教材来看，线性代数在内容安排上，显得逻辑性、抽象性有余，而背景性和应用性不足.

加上线性代数一般都安排课时较少，所以使得学生对线性代数课程的学习更加吃力，达到的教学效果也不尽理想.本文探讨在不改变线性代数课程内容体系的前提下，如何改进课堂教学方法，以达到更好的教学效果.

如前所述，与其他两门数学课程相比较，线性代数的教材编得更为抽象，更加远离现实.学生通常会觉得概念、定义多，而且由于缺乏背景，一般会显得零散，各种概念之间的联系也较难把握.在课堂教学中，必须把握线性代数课程的两条主线，才能把这些大量的概念连起来，形成一个整体.

求解线性方程组是线性代数课程的一个主要任务，将中学的消元法经过一次抽象，就是线性代数中矩阵的初等变换概念.根据各种方程组的特点，形成了线性代数课程中一系列概念和方法.当未知数个数与方程的个数相等的时候，行列式可以派上用场，于是引出了行列式的初等变换、求值、克莱姆法则等相关概念.对一般的线性方程组，我们用秩来描述“真正起作用的方程的个数”，方程组的有解无解，有唯一解还是无穷多解，自由未知量的个数，都可以用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来理解了.

为了对无穷多解有更深入的认识，把方程组的解看成向量，对齐次线性方程组，就需要引入向量空间的概念，这样就不难理解线性相关与线性无关、最大线性无关组这一连串的概念了.可见，抓住了线性方程组这条主线，就可以把行列式、矩阵、向量组这些概念合理地联系起来了.

解析几何中很重要的一个主题就是要把一些二次曲线方程化为只含有平方项的二次型，以便研究曲线的类型，这就是我们所谓的二次型化为标准二次型.利用矩阵这一工具来完成这个过程，需要从矩阵的特征值和特征向量出发，来讨论实对称矩阵的对角化问题.线性代数课程一般给出了三种化二次型为标准二次型的方法，着重讨论的是用正交变换的方法.

在课堂上，抓住这样两条主线，不但可以避免概念的零碎，而且对学生掌握线性代数整个课程体系也是非常有帮助的`.

大部分线性代数教材都从知识结构的逻辑性来安排内容，使得代数知识以抽象的面孔出现在学生面前.事实上，在中学阶段，学生学习初等代数时，是非常注重代数与几何之间的结合的.数形结合不仅有利于降低学生的理解难度，也是掌握代数思想的一个必然要求.如何用几何的观点来学习代数，是一个在线性代数的课堂教学中值得思考的问题.

(5)的解即为方程组(2)的满足整体误差最小的近似解，这就是最小二乘法求最优近似解的结果.从上面的例子可以看出，直观的几何意义使得很多推算得到了简化，更能让学生加深对概念和方法的理解.

前面提到，大部分教材的编排由于注重严格系统化的形式推理，都不可避免地使线性代数抽象性特征明显，我们在课堂教学中，不妨灵活处理知识的来龙去脉，站在从知识发展的历史的角度来认识这门课程，这也是引起国外越来越多大学重视的一种教学方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大学数学教材，就是基于这一观点来编写的.

，普林斯顿大学出版社出版了《普林斯顿数学指南》(the Princeton Companion to Mathematics)，这是一本数学综合类的普及读物，全书共有一千多页，尽量用浅显的语言，把现代数学知识的来龙去脉解释清楚.在线性代数的课堂教学中，如果能借鉴这种从知识产生历史角度来讲授知识，不仅能让学生理解知识之间的内在联系，更为可贵的是，能把很多数学大家当时对这些数学问题的思考过程呈现在学生面前，对学生创造性思维的形成过程大有益处.

线性代数课程由于其自身的特征给教学带来一定的难点，如何在不改变课程知识体系的前提下，达到较好的教学效果，让学生能在抽象的代数学习中，接受知识，形成创造性思维方式，提高数学能力和素养，是每个大学数学教师面临的一个重要课题.本文从教学实践中，结合国内外相关的数学教育理论，提出了几条相应的措施.要提高教学质量，需要长时间在实践不断去完善教学手段和教学方法，唯有高质量的课堂教学，才能保证线性代数课程较好的教学效果.

[1]同济大学数学系编.线性代数[M](第六版).北京：高等教育出版社.

[2]杨小远，李尚志.大学一年级学生创新能力培养探索与实践[J].大学数学，(4)：13-21.

[3]李大潜 漫谈大学数学教学的目标与方法[J].中国大学教学，(1)：7-10.

[4]刘春林，李宝娣.线性代数教学方法探索[J].衡阳师范学院学报，2012(3)：153-155.

[5]李尚志 线性代数新教材之精彩案例(之二)[J].大学数学，2012(4)：5-12.

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答案：1.(1)3；  (2) ；  2.?(1) ；(2) ； 3. .?

2?求代数式的值应分哪几步?

3?在“代入”这一步应注意什么”

其次，结合学生的回答，教师指出：(1)求代数式的值，就是用数值代替代数式里的字母按照代数式的运算顺序，直接计算后所得的结果就叫做代数式的值；(2)代数式的值是由代数式里字母所取值的确定而确定的.?

当a=2，b=1，c=3时，求下列代数式的值：

(1)c-(c-a)(c-b)；   (2) .

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多项式课件的设计与使用

概述

多项式作为数学中十分重要的一种代数式，广泛应用于数学、物理、化学等领域。在中学数学教学中，多项式的学习一直占据着重要的位置，而如何有效地教授和学习多项式成了每位教师和学生都需要面对的问题。为了更好地教学多项式，很多教师开始使用多项式课件进行教学。多项式课件具有生动直观、易于理解、灵活运用的优势，能够有效帮助学生掌握多项式的相关知识。本文将从多项式课件的设计和使用两个方面进行详细探讨。

一、多项式课件的设计

1. 设计原则

在设计多项式课件时，首先要考虑的是课件的设计原则。好的多项式课件应该是生动直观的，能够引起学生的兴趣，激发他们学习的欲望。同时，课件应该符合学科教学要求，能够帮助学生理解多项式的相关知识，提高他们的学习效果。课件的设计应该具有一定的灵活性，能够根据不同学生的水平和学习速度进行调整，满足不同学生的需求。

2. 设计内容

多项式课件的内容应该全面、系统，包括多项式的定义、多项式的运算、多项式的图像等内容。通过多种形式的表达，帮助学生深入理解多项式的概念和运用。同时，课件的设计要符合教学大纲，能够覆盖到相关的知识点，提高学生的学习效果。

3. 设计形式

多项式课件的形式应该多样化，包括文字、图片、视频等多种形式的表现方式。通过多种形式的表达，激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解多项式的知识。同时，课件的设计要简洁明了，不能让学生感到困惑，应该尽量避免过多的内容和复杂的表达方式。

二、多项式课件的使用

1. 使用方法

在教学中，教师可以通过多项式课件来辅助教学，提高教学效果。在教学过程中，教师可以利用多项式课件展示多项式的定义、运算规则、求解方法等内容，帮助学生更好地理解和掌握多项式的相关知识。同时，教师还可以通过多项式课件展示一些实际问题，引导学生运用多项式知识解决问题，提高学生的实际运用能力。

2. 学习效果

使用多项式课件可以提高学生的学习效果，使学生更加直观地理解和掌握多项式的相关知识。通过多种形式的表达，激发学生的学习兴趣，增强他们的学习动力，提高学习效果。同时，多项式课件还可以帮助学生更好地理解多项式的概念，提高他们的学习能力和学习效率。

3. 注意事项

在使用多项式课件时，教师需要注意一些细节问题。要根据课程的实际情况和学生的水平选择合适的课件，避免内容过于复杂或简单。教师在使用课件时要注重与学生的互动，积极引导学生思考、提问，加深学生对多项式知识的理解。教师在使用课件时要注意及时总结和反馈，及时纠正学生的错误，帮助他们更好地掌握多项式的相关知识。

总结

多项式课件作为一种新式的教学手段，具有许多优势和特点，能够帮助教师更好地教学，帮助学生更好地学习。通过设计合理的多项式课件，教师可以提高教学效果，激发学生的学习兴趣，使学生更直观地理解和掌握多项式的相关知识。同时，学生也能够通过多项式课件更快地学习和消化多项式的知识，提高学习效果。在今后的教学中，应该更加重视多项式课件的设计和使用，充分发挥其在数学教学中的作用。

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